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先学会“读数学”：角标、字母和奇怪符号
15—51关都会用到
先说人话
数学公式不是密码，只是把一长句话压缩成很短的写法。第一次看到时，先别急着计算，要按“从外到内、从左到右”的顺序，把它翻译成人话。
怎么读？每个符号是什么意思？
右上角的小字
叫“上标”或“指数”。例如 2³ 读作“2的3次方”，意思是2×2×2。xⁿ读作“x的n次方”，表示把x连乘n次。
右下角的小字
叫“下标”，常用来给一串数编号。例如 a₁ 是“第1项”，aₙ 是“第n项”，aₙ₊₁ 是“第n加1项”，也就是下一项。
字母
字母不是神秘数字。n、m通常代表任意正整数；x代表一个暂时没有指定的数。字母的作用是让一句规律可以同时适用于很多数字。
括号
gcd(12,18)里的括号不是乘法，而是“把12和18交给gcd这个工具”。它和“面积(长,宽)”的写法类似。
感叹号
5!不是惊叹，而是“5的阶乘”，等于5×4×3×2×1。
三个点
1+2+3+…+100中的“…”表示中间按同样规律继续写下去。
先看一个小例子
看到 aₙ₊₁=2aₙ+1，可以先读成：“下一项，等于前一项乘2，再加1。”先读懂中文，再开始算。
回到闯关时这样想
浩哥第一次遇到任何公式，都可以先问三件事：每个符号叫什么？整句话怎么读？它是在说一种计算，还是在说一种规律？
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 01
高维超立方体：看不见完整图形，也能推理
对应第15—20关
先说人话
一维线段、二维正方形、三维立方体，其实都遵守同一条规则：复制一份，再连接对应位置。四维、五维只是继续使用这条规则，并不要求人真的在脑中看见完整图形。
怎么读？每个符号是什么意思？
2ⁿ怎么读
读作“2的n次方”。n维超立方体的每个顶点可以用n个0或1来编号，所以共有2×2×…×2，也就是2ⁿ个顶点。
n×2ⁿ⁻¹怎么读
读作“n乘以2的n减1次方”。这里右上角的n−1是一个整体，表示指数。
胞怎么读
读作“bāo”。四维超立方体的三维外壳由普通立方体组成，这些普通立方体叫“立方体胞”。
先看一个小例子
三维顶点可写成000、001、010……111。两个编号只有一位不同，就表示两个顶点之间有一条棱。这样不画立体图，也能研究连接关系。
回到闯关时这样想
高维题不要硬画。把“维度”理解成有多少个可以独立改变的方向，再用0和1给顶点编号。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 02
阶乘与排列：顺序一变，就算另一种
对应第17、47关
先说人话
当题目关心先后顺序时，通常是在数“排列”。n个不同对象排成一列，第一个位置有n种选择，第二个剩n−1种，依次乘下去。
怎么读？每个符号是什么意思？
n!怎么写
n!=n×(n−1)×(n−2)×…×2×1。
什么时候用
排队、动作的先后顺序、不同方向的行走次序、密码各位的排列，都可能用阶乘。
先看一个小例子
有4个不同方向各走一次。路线的区别只在先走哪个方向，因此一共有4!种次序。
回到闯关时这样想
先问：甲乙和乙甲算不算同一种？若不算同一种，就要考虑顺序。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 03
组合：只关心选中了谁，不关心先后
对应第18、21—23、46关
先说人话
从n个不同对象中选k个，如果只看选中了哪些对象，不看选择顺序，就叫组合。
怎么读？每个符号是什么意思？
C(8,3)怎么读
读作“8选3”，意思是从8个不同对象中选3个。
为什么要除掉重复
先按顺序选会把同一组反复计算。例如甲乙丙这组会以甲乙丙、乙甲丙等多种顺序出现。
握手为什么是组合
一次握手只取决于是哪两个人，甲和乙握手与乙和甲握手是同一次。
先看一个小例子
从6个位置中选2个位置放星星，只需计算“6选2”。先后放入哪一颗星星并不重要。
回到闯关时这样想
“只看选了谁”用组合；“还看先后顺序”用排列。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 04
不变量：操作一直发生，但某种性质始终不变
对应第26、29关
先说人话
有些题让你连续操作很多次。直接模拟会很累，但某个性质可能从头到尾不变。找到它，就能判断某个结果是否可能出现。
怎么读？每个符号是什么意思？
奇偶性
一个整数是奇数还是偶数。若每次总是增加或减少偶数，奇偶性就不会改变。
染色法
给棋盘按规则涂上不同颜色，再观察每次操作会拿走或覆盖哪些颜色。
为什么有用
如果目标状态需要改变一个永远不变的性质，那么目标一定不可能达到。
先看一个小例子
一块1×2骨牌在黑白相间的棋盘上总会覆盖一黑一白。若剩余黑格与白格数量不相等，就不可能完全铺满。
回到闯关时这样想
看到“每次都做同一种操作”，先别急着做，先找数量、颜色、奇偶性或余数中有没有东西始终不变。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 05
决策树与信息量：每一步都要尽量缩小可能范围
对应第27、28关
先说人话
天平称量题不是单纯比较重量，而是在设计一连串判断。每次称量会出现左重、平衡、右重三种结果，每个结果都进入下一条不同路线。
怎么读？每个符号是什么意思？
决策树
把每次可能结果画成分叉，整个过程像一棵树，因此叫决策树。
状态
每一种“哪枚是假币、它偏重还是偏轻”的可能，都叫一个状态。
最坏情况
不是平均需要几次，而是最倒霉的那条路线最多需要几次。
先看一个小例子
第一次把9个物体分成3组，每组3个。若能用一次判断确定落在哪一组，剩余范围就从9缩到3。
回到闯关时这样想
好策略不是让某一种情况特别快，而是让每个分支剩下的可能数量尽量接近。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 06
图论：把对象看成点，把关系看成线
对应第30关
先说人话
图论里的“图”不是画得像不像，而是研究谁与谁连接。人可以是点，认识关系可以是线。
怎么读？每个符号是什么意思？
拉姆齐思想
对象足够多时，无论关系多么杂乱，都会被迫出现某种整齐的小结构。
先看一个小例子
任选一个人，他与另外5个人只有“认识”或“不认识”两类关系。因为5个人分进2类，至少有3个人落在同一类。
回到闯关时这样想
关系题先任选一个点，再把其他点按它们与这个点的关系分类。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 07
质因数分解、约数个数与阶乘末尾
对应第31、37—39关
先说人话
质数像整数世界的基本积木。把一个整数拆成质数相乘，叫质因数分解。很多整除问题会因此变简单。
怎么读？每个符号是什么意思？
2³×3²×5怎么读
读作“2的3次方，乘3的2次方，再乘5”。
约数个数为什么加1
若某个质因数最多出现a次，约数中可以选它出现0、1、2……a次，共a+1种。
100!是什么意思
从100一直乘到1。阶乘末尾的0来自因子10，而10=2×5。
先看一个小例子
72=2³×3²。它的约数中，2可以用0到3次，共4种；3可以用0到2次，共3种，所以约数总数是4×3。
回到闯关时这样想
先分解，再计数。看到“被很多数整除”“有多少约数”“阶乘末尾几个0”，都可以先找质因数。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 08
模运算：只看除完以后的余数
对应第32、33关
先说人话
有些巨大数字没必要完整算出来，只要知道它除以某个数的余数。研究余数的运算叫模运算。
怎么读？每个符号是什么意思？
a≡b (mod m)怎么读
读作“a与b模m同余”，意思是a和b除以m的余数相同。
≡是什么
它不是普通等号，而是“在只看某个余数的世界里可以当作相同”。
个位数
求个位数字就是求除以10的余数，因此可以观察个位的循环。
先看一个小例子
3的幂的个位依次是3、9、7、1，然后重复。指数非常大时，只需看它落在这个4步循环的哪一步。
回到闯关时这样想
先写出前几次余数，找循环；循环余数为0时，取循环的最后一项。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 09
容斥原理：加起来以后，把重复的部分减回去
对应第35、36、47关
先说人话
当两类对象有重叠时，直接把两类数量相加，会把重叠部分算两次。因此需要减回一次。
怎么读？每个符号是什么意思？
|A|怎么读
读作“A的元素个数”。竖线在这里不是绝对值，而是表示一个集合有多少个对象。
A∩B怎么读
读作“A交B”，表示同时属于A和B的对象。
为什么叫容斥
先把各类都包含进来，再排除重复计算的部分。
先看一个小例子
1到30中，2的倍数有15个，3的倍数有10个，但6的倍数被两边都算了，所以需要减去5个重复项。
回到闯关时这样想
题目出现“或”“至少一个”“既……又……”时，检查是否发生了重复计数。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
符号补充
向下取整：⌊x⌋只保留不超过x的最大整数
第35、36关的解析可能出现
先说人话
符号⌊x⌋叫“向下取整”。它把一个数的小数部分去掉，得到不超过它的最大整数。
怎么读？每个符号是什么意思？
⌊7.8⌋怎么读
读作“7.8向下取整”，结果是7。
为什么倍数题会用
1到100中有多少个3的倍数，就是看100÷3能完整装下多少个3，因此写成⌊100/3⌋。
负数时要小心
⌊−1.2⌋不是−1，而是−2，因为−2才是不超过−1.2的最大整数。
先看一个小例子
1到25中，4的倍数有⌊25÷4⌋=6个，对应4、8、12、16、20、24。
回到闯关时这样想
在这套闯关里，向下取整主要用来表示“最多能完整放下多少个”。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 10
巨大公因数公式：先把每一个符号读懂
对应第40关
先说人话
这类题看起来吓人，是因为把好几种符号挤在了一行。真正的做法是先翻译公式，而不是直接展开巨大数字。
怎么读？每个符号是什么意思？
gcd是什么意思
gcd是英文 greatest common divisor 的缩写，中文是“最大公因数”。gcd(12,18)=6，读作“12和18的最大公因数等于6”。
xᵐ是什么意思
读作“x的m次方”。x叫底数，右上角的m叫指数。m表示x一共连乘多少次。
gcd(m,n)放在右上角
先求m和n的最大公因数，再把得到的数当成x的新指数。
整个公式怎么读
“x的m次方减1，与x的n次方减1的最大公因数，等于x的——m与n的最大公因数——次方，再减1。”
先看一个小例子
用不同数字演示：取x=2、m=6、n=4。左边是gcd(2⁶−1,2⁴−1)=gcd(63,15)=3；右边先算gcd(6,4)=2，再算2²−1=3。两边相同。
回到闯关时这样想
这条规律只用于“同一个底数的幂，再减1”这种特殊形状。闯关时先算指数m、n的最大公因数，不要先算巨大幂。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 11
代数恒等式：不一定要先求出字母是多少
对应第41、42、44关
先说人话
字母表示暂时没有指定的数。恒等式是一条对所有合适数值都成立的变形规律。题目给“和”却求“平方和”时，可以直接把整个和平方。
怎么读？每个符号是什么意思？
(a+b)²怎么读
读作“a加b的和的平方”。括号表示先把a+b看成一个整体。
2ab是什么意思
表示2×a×b。字母挨在一起，在代数中通常表示乘法。
为什么不一定求a和b
有时所求只和a+b、ab有关，直接代入恒等式更快。
先看一个小例子
若a+b=8，ab=12，那么a²+b²=(a+b)²−2ab=64−24。这里完全不必先求a、b各是多少。
回到闯关时这样想
先比较“已知式子”和“所求式子”长得像不像。平方、相加或相减，常常能把一个变成另一个。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 12
固定和的最大乘积：越接近，乘积越大
对应第43关
先说人话
两个正数的和固定时，它们相差越大，乘积越小；相等或尽量接近时，乘积最大。
怎么读？每个符号是什么意思？
正整数限制
若要求整数，而总和是奇数，两数不能完全相等，就取最接近的两个整数。
为什么成立
把两数写成m−d和m+d，乘积是m²−d²。差距d越大，减掉的越多。
先看一个小例子
和为12的正整数对有1和11、2和10、3和9……越靠近6和6，乘积越大。
回到闯关时这样想
固定和求最大乘积，先试着把两部分分得尽量平均。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 13
递推：下一步由前面的结果决定
对应第45、50关
先说人话
递推关系不是一次给出第n项，而是告诉你怎样从较小问题走到较大问题。
怎么读？每个符号是什么意思？
a₁怎么读
读作“a的第1项”。右下角数字是编号，不是乘法。
aₙ₊₁怎么读
读作“a的第n加1项”，也就是aₙ的下一项。
f(n)=f(n−1)+f(n−2)
读作：“第n个结果，等于前一个结果加前两个位置的结果。”
先看一个小例子
数不含连续1的0、1串时，可以按最后一位分类：最后是0，前面随意合法；最后是1，前一位必须是0，于是问题变成更短的同类问题。
回到闯关时这样想
递推题先算前几项，再问“最后一步有哪些情况”，不要一开始就强求总公式。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 14
二进制串：它只是由0和1组成的一排位置
对应第46、50关
先说人话
“长度为10的二进制串”表示有10个位置，每个位置只能填0或1。这里主要是在计数，不要求先学计算机里的二进制换算。
怎么读？每个符号是什么意思？
串
就是按顺序排成的一列符号。00101和10100是两个不同的串。
恰好k个1
等价于从全部位置中选k个位置填1，其余自动填0。
先看一个小例子
长度5、恰好2个1，只需从5个位置里选2个，因此转成“5选2”。
回到闯关时这样想
把0和1想成空格与星星，会比把它当成巨大数字更容易。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 15
错排：每个人都拿错了自己的东西
对应第47关
先说人话
n件带名字的物品分给n个人，要求没有任何人拿到自己的物品，这种排列叫错排。
怎么读？每个符号是什么意思？
Dₙ怎么读
读作“n个对象的错排数”。D只是给这个数量起的名字。
为什么不能直接用n!
n!包含了所有排列，其中许多排列有人拿对了自己的物品，需要排除。
小规模怎么办
对象很少时，可以列表或按第一个人的物品去了哪里分类。
先看一个小例子
3个人交换帽子且无人拿到自己的帽子，可以直接列出所有合法分法；人数变多后再用递推或容斥。
回到闯关时这样想
这关优先分类思考，不需要先背错排公式。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 16
抽屉原理：组比位置少，就一定发生碰撞
对应第48关
先说人话
把n+1件东西放进n个抽屉，不管怎么放，至少有一个抽屉里有两件。题目中的抽屉可以是数字分组、余数类别或互补数对。
怎么读？每个符号是什么意思？
为什么叫原理
它不是某一种计算公式，而是一条“必然发生”的逻辑规律。
“保证”是什么意思
不是有可能，而是无论怎样选择，都一定出现。
怎么找抽屉
先把所有对象按某个目标关系分成若干组，每组就相当于一个抽屉。
先看一个小例子
13个人按出生月份分进12组，无论生日具体是哪天，至少有两个人出生在同一个月。
回到闯关时这样想
看到“至少选多少个才能保证”时，先数一共有多少组，再考虑每组最多先选几个而不触发目标。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
装备 17
欧拉多面体公式：顶点、棱、面之间的关系
对应第49关
先说人话
对没有洞的凸多面体，顶点数、棱数和面数之间总满足一个固定关系。
怎么读？每个符号是什么意思？
V、E、F是什么
V来自Vertex，表示顶点数；E来自Edge，表示棱数；F来自Face，表示面数。
V−E+F=2怎么读
读作：“顶点数减棱数，再加面数，等于2。”
适用条件
普通凸多面体适用；有洞或自相交的复杂表面需要别的版本。
先看一个小例子
立方体有V=8、E=12、F=6，代入得到8−12+6=2。
回到闯关时这样想
公式题先把字母替换成题目给出的具体数量，再解剩下的一个未知数。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
终极装备
最坏情况策略与三角数：每条路线都不能太慢
对应终极关
先说人话
“最坏情况下最少几次”不是问平均速度，而是要求无论真实答案在哪里，最倒霉的那条路线也不超过规定次数。
怎么读？每个符号是什么意思？
k(k+1)/2怎么读
读作“k乘k加1，再除以2”。它等于1+2+…+k，叫第k个三角数。
为什么间隔逐渐减1
前面每多试一次，剩下允许逐层检查的次数就少一次，因此下一次跨越的楼层也应少1。
最小的k
先找一个k，使1+2+…+k覆盖全部楼层；还要检查k−1是否不够。
先看一个小例子
若只有20层，找最小k使1+2+…+k至少为20。这样能先理解策略结构，而不用直接处理100层。
回到闯关时这样想
策略题不是只找一个能成功的方法，而是证明没有更少次数的方法能够保证成功。
为什么公式要写得这么短？
数学家用符号，是为了让一条规律能适用于很多数字，也方便检查推理。
第一次看见时完全可以先把它翻译成长句；等熟悉以后，再直接阅读短公式。
不需要背诵本节公式，能读懂、知道什么时候可能用到，就已经足够。
没找到相关概念。可搜索“指数、下标、组合、余数、递推、高维”等关键词。